5 Teoria de colas

Teoría de colas.

La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Esta se presenta, cuando los “clientes” llegan a un lugar demandando un servicio a un “servidor”, el cual tiene una cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la línea de espera.

Cola: Una cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de línea de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado.

Sistemas de colas: Los sistemas de colas son modelos de sistemas que proporcionan servicio. Como modelo, pueden representar cualquier sistema en donde los trabajos o clientes llegan buscando un servicio de algún tipo y salen después de que dicho servicio haya sido atendido. Podemos modelar los sistemas de este tipo tanto como colas sencillas o como un sistema de colas interconectadas formando una red de colas.

El problema es determinar qué capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que un cliente no llega a un horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en que momento llegarán los clientes. También el tiempo de servicio no tiene un horario fijo.

 

5.1 Definiciones, caracteristicas y suposiciones

Teoría de colas.
 La teoría de colas es una disciplina, dentro de la investigación operativa, que tiene por objeto el estudio y análisis de situaciones en las que existen ente que demandan cierto servicio, de tal forma que dicho servicio no puede ser satisfecho instantáneamente, por lo cual se provocan esperas.

Características:

Existen dos clases básicas de tiempo entre llegadas:

1. Determinístico: En el cual clientes sucesivos llegan en un mismo intervalo de tiempo, fijo y conocido. Un ejemplo clásico es el de una línea de ensamble, en donde los artículos llegan a una estación en intervalos invariables de tiempo (conocido como ciclos de tiempo).
2. Probabilístico: En el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto y variable. Los tiempos entre llegadas probabilísticos se describen mediante una distribución de probabilidad.

*Nota* En el caso probabilístico, la determinación de la distribución real, a menudo, resulta difícil. Sin embargo, una distribución, la distribución exponencial, ha probado ser confiable en muchos de los problemas prácticos.

Supuestos:

1) El sistema de cola existe siempre y cuando, el número de entidades es mayor al número de servidores.

2) La tasa de llegada (ʎ) y la tasa de servicio (µ) deben darse en proceso poissoniano, es decir las llegadas se da según la distribución poisson y el tiempo de servicios sigue una distribución exponencial.  

3) La tasa de servicio de un sistema debe ser menor que la tasa de llegada del mismo, de lo contrario el sistema colapsa. µ > ʎ

Clasificación de los sistemas de cola

Existen 2 tipos de sistemas de colas:

Sistema básico: Es aquel donde existe una población, un sistema de llegada, además existe solo un sistema de cola  y de servicio (sin importar en número de colas, ni el número de servidores). Es decir, en este sistema las entidades al recibir el servicio salen del sistema y no ingresan a otro.

Sistema multifase o en cascada: A diferencia del sistema básico el sistema multifase es aquel donde existe un conjunto de sistemas interconectados. Existe una población, un sistema de llegada, y existe más de un sistema de cola y de servicio (sin importar en número de colas, ni el número de servidores) con relación entre ellos. Es decir, en este sistema las entidades al recibir el servicio salen del sistema e ingresan uno o mas sistemas de cola y servicio, que pueden o no tener las mismas características.

5.2 Terminología y notación

 características operativas. -

Medidas de desempeño para una línea de espera que incluyen la probabilidad de que no haya unidades en el sistema, la cantidad promedio en la línea, el tiempo de espera promedio, etc.

Operación de estado estable

Operación normal de la línea de espera después de que ha pasado por un periodo inicial o transitorio. Las características operativas de las líneas de espera se calculan para condiciones de estado estable.

Tasa media de llegada

.- Cantidad promedio de clientes o unidades que llegan en un periodo dado.

Tasa media de servicio. -

Cantidad promedio de clientes o unidades que puede atender una instalación de servicio en un periodo dado.

Línea de espera de canales múltiples. -

Línea de espera con dos o más instalaciones deservicio paralelas.

Bloqueado. -

Cuando las unidades que llegan no pueden entrar a la línea de espera debido a que el sistema está lleno. Las unidades bloqueadas pueden ocurrir cuando no se permiten las líneas de espera o cuando las líneas de espera tienen una capacidad finita.

Población infinita. -

Población de clientes o unidades que pueden buscar servicio, no tiene un límite superior especificado.

Población finita. -

Población de clientes o unidades que pueden buscar servicio, tiene un valor fijo y finito. Usualmente siempre es común utilizar la siguiente terminología estándar :

nomenclatura

a= La distribución de tiempo entre llegadas.

b= La distribución de tiempo de servicio.

c= El número de servidores en paralelo.

d= Tipo de disciplina en el servicio (FCFS, LCFS, SIRO, PRIORIDAD).

e= Número máximo admitido en el sistema (línea de espera + en servicio).

f= Tamaño de la población de donde se extrae los clientes.

Para reemplazar a los símbolos a y b se usan las siguientes iniciales:

M = Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribución exponencial entrada o salida de Poisson (o Markoviana).

D= Cuando el tiempo de llegada o servicio es determinista

Ek = Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribución de Erlangs con parámetro K.

G = Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribución general (cualquier distribución arbitraria)

Como observamos los elementos básicos para crear un modelo de línea de espera, dependerá de los siguientes factores:

Distribución de llegadas. (Individuales o en grupo).

Distribución de servicio. (Individuales o en grupo).

Diseño de  la instalación (estaciones en serie, paralelo, o en red)

Disciplina de servicio

Tamaño de la línea (finita  o infinita)

Fuente de los clientes (finita  o infinita)
ejemplo

5.3 Proceso de nacmiento o muerte

PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE

OBJETIVOS

Objetivo General:

Obtener la información necesaria para el uso de teoría de colas.

Objetivos Específicos:

1.Conocer los conceptos básicos del proceso de nacimiento y muerte.
2.Brindar un ejemplo de la aplicación del proceso de nacimiento y muerte.

INTRODUCCION
La mayor parte de los modelos elementales de colas suponen que las entradas (llegada de clientes) y las salidas (clientes que se van) del sistema ocurren de acuerdo al proceso de nacimiento y muerte. El termino nacimiento se refiere a llegada de un nuevo cliente al sistema de colas y el termino muerte se refiere a la salida del cliente servido. El estado del sistema en el tiempo t (t 0), denotado por N (t), es el numero de clientes que hay en el sistema de colas en el tiempo t. El proceso de nacimiento y muerte describe en términos probabilísticos como cambia N (t) al aumentar t. En general, dice que los nacimientos y muertes individuales ocurren aleatoriamente, en donde sus tasas medias de ocurrencia dependen del estado actual del sistema.

Concretamente se caracterizan los siguientes modelos:

Cada modelo tiene su proceso de nacimiento y muerte, para luego detallar las expresiones L, Lq,W,Wq.

Hipótesis

El desarrollo de los modelos de nacimiento y muerte se basa en las siguientes hipótesis de partida.

1.Si el número de clientes en el sistema es igual a n, la distribución de probabilidad del tiempo que falta ver el próximo nacimiento, sigue una ley exponencial de parámetro λn.

2.Si el número de clientes en el sistema es igual a n, la distribución de probabilidad del tiempo que falta para la próxima muerte sigue una ley exponencial de parámetro µn.

3.Las variables aleatorias de (1) y (2) son independientes. Dependiendo de qué variable resulte ser más pequeña, las transiciones son:

      n  -> n+1      (un nacimiento)

n -> n-1      (una muerte)

™A partir de éstas hipótesis, podremos calcular las probabilidades Pn de que el sistema se encuentre en cada uno de los diferentes estados posibles n. A partir de las Pn, será posible determinar expresiones, más o menos complejas de L y Lq, así como de la tasa media de llegadas. Una vez obtenidos estos datos, podremos obtener W y Wq a partir de las fórmulas de Little.